Résolutions d'inéquations - Exemples

Énoncé

On souhaite résoudre les quatre inéquations suivantes sur \(\mathbb{R}\).
1. \(\text e^{3x}-\text e\geqslant 0\)
2. \((\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) \leqslant 0\)
3. \((\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 < 0\)
4. \(\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2}\)

Solution

1. \(\text e^{3x} - \text e \geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow\text e^{3x} - \text e^1 \geqslant 0\)
\(\Leftrightarrow\text e^{3x} \geqslant \text e^1\)
\(\Leftrightarrow 3x \geqslant 1\)
\(\Leftrightarrow x \geqslant \dfrac{1}{3}\)
L'intervalle solution est \(S = \left[\dfrac{1}{3}~ ; +\infty \right[\).

2. \((\text e^x - \text e^{-2})( \text e^{12} - \text e^x ) \leqslant 0\)
On s'intéresse aux signes des deux facteurs puisqu'on a une inéquation-produit : 
\((\text e^x - \text e^{-2}) \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^x \geqslant \text e^{-2} \Leftrightarrow {x} \geqslant {-2}\) 
\(\text e^{12}- \text e^x \geqslant 0 \Leftrightarrow \text e^{12} \geqslant \text e^x \Leftrightarrow {12} \geqslant {x}\)
Ainsi, on obtient le tableau de signes suivant :

L'ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles \(S = ] - \infty~ ; -2 ] \cup [ 12~ ; + \infty [\).
3. \((\text e^x )^2 - \text e^x \times \text e^6 < 0\)
\(\Leftrightarrow \text e^{2x} - \text e^{x+6} < 0\)
\(\Leftrightarrow \text e^{2x} < \text e^{x+6}\)
\(\Leftrightarrow 2x<x+6\)
\(\Leftrightarrow x<6\)

L'intervalle solution est \(S = \left]-\infty ~; 6\right[\).
4. \(\text e^{8x + 2} \geqslant \text e^{4x - 2}\)
\(\Leftrightarrow 8x + 2 \geqslant 4x - 2\)
\(\Leftrightarrow 4x \geqslant -4\)
\(\Leftrightarrow x \geqslant -1\)
L'intervalle solution est \(S = [-1~ ; + \infty [\).